to offer => предлагать (что-либо: предмет / помощь./ ...):

• I offer you my help. => Я предлагаю тебе свою помощь.
• She has been offered a new job. => Ей предложили новую работу.
• Can I offer you a cup of coffee? => Могу я предложить тебе чашечку кофе?
• What did you offer him? => Что ты предложил ему (приобрести у нас / сделать для него)?

offer => предложение:

• Do you like their offer? => Тебе нравится то, что они предлагают (приобрести у них / сделать для нас)?

to suggest => выдвинуть идею для (совместного) рассмотрения / выполнения:

• Не suggested a visit to the doctor. => Он предложил сходить к врачу.
• I suggest waiting here. => Я предлагаю ждать здесь.
• They suggested that we should learn it by heart. => Они предложили нам заучить это наизусть.
• What did you suggest to him? => Что ты предложил ему (какую идею / план)?

suggestion => предложение о (совместном) выполнении каких-либо действий:

• Do you like their suggestion? => Тебе нравится то, что они предлагают (делать)?

to propose =>

1. выдвинуть конкретную идею для (совместного) рассмотрения / выполнения:

• She proposed a new plan to us. => Она предложила нам новый план.

I propose starting early / an early start / to make an early start / making an early start / that we should start early tomorrow. => Я предлагаю выйти завтра рано утром.

2. сделать предложение выйти замуж:

• Не proposed (to me). => Он сделал мне предложение.
• Haven't you proposed (to her) yet? => Разве ты еще не сделал (ей) предложение?

3. выдвинуть кандидатуру (на" должность / для выполнения обязанностей):

• I propose him for manager. => Я предлагаю его кандидатуру на должность менеджера.

to propose a toast to smth. / smb. = to propose smb.'s health => предложить тост за что-либо / кого-либо = за чье-либо здоровье:

• I should like to propose a toast to the bride and bridegroom. => Я хотел бы предложить / Я предлагаю тост за здоровье жениха и невесты.
• I (should like to) propose your wife's health. => Я хотел бы предложить / Я предлагаю тост за здоровье твоей жены.

proposal => конкретное предложение о выполнении каких-либо действий / предложение выйти замуж:

• How did you like their proposal for cooperation? => Тебе понравилось / Как ты находишь их предложение о сотрудничестве?
• I can have several proposals in one week. => Мне могут сделать предложение (выйти замуж) несколько раз за одну неделю.

proposition => предложение (обоснование собственного отношения к какой-либо идее / восприятие какой-либо идеи, требующей глубокого анализа / изучения):

• I have a proposition to make to you. => У меня есть к тебе (очень серьезное) предложение.
• Tunnelling under the English Channel is a big proposition. => Прокладка туннеля под Ла-Маншем — это очень крупное предложение / крупный проект.

sentence => предложение (грамматическое понятие в языке):

• Could you repeat the last sentence, please? => He могли бы вы повторить последнее предложение?