on => на; обозначает на поверхности, поэтому во многих случаях не соответствует русскому предлогу на; слова с этим предлогом чаще всего отвечают на вопрос где?:

on the table => на столе;

но:

Мама ушла на работу. Папа сейчас на дежурстве. — в этих предложениях русские предлоги нельзя перевести английским on.

В некоторых случаях может заменяться upon.

in => в; обозначает внутри, поэтому часто не соответствует по значению русскому в; слова с этим предлогом отвечают на вопрос где?:

in the pocket => в кармане;

но:

Мама ушла в кино. Папа работает в первую смену. — в этих предложениях русские предлоги нельзя перевести английским in.

at => у / при / около; обозначает место действия:

Он стоял у окна. => Не was standing at the window.

at => обозначает принадлежность к большой системе:

Папа работает на заводе. => Father works at the plant. 
Я учусь в институте. => I study at the institute.

Примечание:

при использовании всех перечисленных выше предлогов необходимо внимательно следить за ситуацией:

Я учусь в институте, (отношусь к системе вуза) => ... at the institute.

но:

Он сейчас где-то в институте, (внутри) => ... in the institute.

Я остановился в гостинице "Минск", (вписался в систему гостиницы) => ... at the Minsk Hotel.

но:

Мой друг в гостинице, (внутри) => ... in the hotel.

to => в / на; обозначает направленность действия (куда? / кому? / к кому?):

Мама ушла в кино. => Mother went to the cinema.
Мы не пойдем в институт. => We shall not go to the institute.
Она дала мне один доллар. => She gave one dollar to me.

Примечание:

предлог to может и не ставиться в тех случаях, когда речь идет о взаимодействии двух субъектов с участием какого-либо предмета;

все зависит от расстановки слов в предложении: если сначала указывается предмет, а потом тот, на кого направлено действие, предлог ставим, если наоборот — не ставим:

Субъект 1 => Действие => Предмет => to => Субъект 2:

She gave one dollar to me.

Субъект 1 => Действие => Субъект 2 => Предмет:

She gave me one dollar.

They didn't bring a new lamp to us. = They didn't bring us a new lamp. =>
Они не принесли нам новую лампу.

She will send strong cigars to him. = She will send him strong cigars. =>  
Она пошлет ему крепкие сигары.

towards => по направлению к; близок по значению к to, но менее конкретизирован:

Не went to the car. => Он пошел к машине (в машину)

Не went towards the car. => Он пошел по направлению к машине, (но может свернуть в сторону)

of => предлог родительного падежа; т.е. перед словами, стоящими в русском предложении в родительном падеже (кого? / чего?), в английском предложении ставится предлог of:

the door of my room / the car of my wife

of => о / об:

Я о нем ничего не знаю. => I know nothing of him.

Я часто думаю об этом. => I often think of that.

of => часто используется в сочетаниях с глаголом to be, связывая смысловое значение прилагательного из такого сочетания с кем-либо / чем-либо:

to be tired of afraid of proud of и др.:

I'm tired of you. => Я устал от тебя. / Ты мне надоел.

She is proud of her body. => Она гордится своей фигурой.

They are not afraid of us. => Они не боятся нас.

I'm not sure of that. => Я не уверен в этом.

with / by => предлоги творительного падежа; ставятся перед словами, имеющими в русском языке форму творительного падежа (кем? / чем?):

by — если действие совершается человеком или большой системой;

with — если действие совершается неодушевленным предметом (когда в русском языке можно вставить с помощью); в таком значении эти предлоги чаще используются в предложениях Passive:

Машина была куплена моим другом. => The car was bought by my friend.

План выполнялся всей страной. => The plan was being fulfilled by the whole country.

Иногда окна моют водой. => Sometimes the windows are washed with water.

with => с / вместе с:

with me => со мной;
together with boys and girls => вместе с мальчиками и девочками

by => у / около:

by the window => у окна;
by the door => рядом с дверью

for => для:

for me => для меня / for him => для него

from => от / из / с поверхности / у (от) кого-либо:

Она приехала из Москвы. => She came from Moscow.
Я знаю это от нее. => I know it from her.
Он взял какую-то книгу со стола. => Не took a book from the desk.
Я взял эту книгу у него. => I took this book from him.

about => о / об:

Я ничего о нем не знаю. => I know nothing about him.

about => имеет другие значения; часто переводится приблизительно / по / вокруг / кругом; во многих случаях может заменяться around / round:

Он ходил по городу пешком. => 
Не walked about the town. = He walked around the town.

У меня приблизительно десять долларов. =>  
I have about ten dollars. = I have around ten dollars.

Он не хотел идти вокруг того дома. =>  
Не didn't want to go around that house.

after => за / вслед за:

Она пришла вслед за мной. => She came after me.

above => над;

under => под;

behind => за / позади;

without => без (кого-либо / чего-либо);

in front of => перед (впереди кого-либо / чего-либо):

Моя машина перед домом. => My car is in front of the house.

into => в; обозначает действие, направленное внутрь чего-либо:

Она вошла (куда?) в комнату. => She came into the room.

onto => на; обозначает действие, направленное на поверхность чего-либо:

Он положил деньги (куда?) на стол. => Не put the money onto the table.

out of => из; обозначает действие, направленное наружу изнутри замкнутого пространства:

Он достал сигару из коробки. => Не took a cigar out of the box.

Она вышла из комнаты. => She came out of the room.

сравните:

Она приехала из Москвы. => She came from Moscow.

through => сквозь / через:

through the window / through the wall

over => над (сверху):

over the window / over the roof

between => между (двух предметов / лиц):

between two cars / between two women

among => между (среди трех или более лиц / предметов):

among students / among trees

across => через (пространство /предмет):

across the room / the street / the table / ...

near => возле / рядом / около:

near the house / near the car