Крайне редко используется в разговорной речи и довольно часто — в научной / коммерческой / юридической литературе.

Во всех случаях между оборотом и остальной частью предложения ставится запятая.

В английских предложениях с независимым причастным оборотом существуют одновременно как бы два подлежащих (одно — со сказуемым, другое — с причастием). При этом действие, обозначенное причастием, является второстепенным по отношению к действию, выраженному сказуемым и, следовательно, существительное / местоимение, относящееся к причастию, является тоже второстепенным предметом.

В предложении оборот может занимать место перед подлежащим, после сказуемого или в середине предложения (выделяется запятыми).

В большинстве случаев независимый причастный оборот переводится на русский язык придаточными предложениями

времени:

• The party being over, they went home. => Когда вечеринка закончилась, они пошли домой.
• The work having been done, they went home. => Они пошли домой после того, как сделали всю работу.

причины:

It being pretty late, she switched on the light. => Так как было довольно поздно, она включила свет.

• She was alone in the house, and there being no one to help her, she called me. => Она была в доме одна, и поскольку ей некому было помочь, она позвонила мне.

(обратите внимание на возможность использования в форме причастия глагола to be из оборота there + to be)

• We went back home, there being too many people inside the restaurant. => Мы отправились обратно домой, так как в ресторане было слишком много народу.

условия:

в этом случае обычно используются причастия, образованные от глаголов to permit => разрешить / to fail => провалиться, оказаться неудачным

• Time permitting, we shall see you off. => Если позволит время, мы проводим тебя.
• Your attempt failing, no one will help us. => Если твоя попытка окажется неудачной, нам никто не поможет.
• Money permitting, he will buy that house. => Если у него будет достаточно денег, он купит этот дом.

сопутствующих обстоятельств:

в этом случае оборот может начинаться предлогом with и переводиться на русский язык самостоятельным предложением или придаточным, которое присоединяется к главному союзами при этом / а и др.

• Не was sitting still, with his eyes closed. => Он сидел неподвижно, при этом / а / и глаза его были закрыты.
• She was reading a book, her hands being on the table. => Она читала книгу. 

Примечания:

иногда форма Причастия I, образованная от глагола to be, в обороте опускается, но легко угадывается:

• Lunch (being) over, we went on reading. => Обед закончился, и мы продолжили чтение.
• I found him waiting, with his wife (being) upstairs, (обратите внимание: with часто используется в отсутствие being ) => Я обнаружил, что он ждал меня, а жена его была наверху.

в письменной речи запятой отделяются и выражения frankly speaking => честно говоря / generally speaking => вообще говоря / strictly speaking => строго говоря, не являющиеся независимым причастным оборотом, но представляющие собой вводную часть ко всему предложению:

• Frankly speaking, I don't like your wife very much. => Честно говоря, мне не очень нравится твоя жена.